یکی از پیشرفت های غیرمنتظره در ریاضیات قرن بیستم رشد برق آسای موضوعی است موسوم به توپولوژی. توپولوژی مطالعه آن دسته از خواص اشیاء هندسی است که بر اثر تبدیلات پیوسته اشیاء دستخوش تغییر نمی شوند.

توپولوژی از خواص اشیاء هندسی است که بر اثر تبدیلات پیوسته اشیاء دستخوش تغییر نمی شوند

تبدیل پیوسته، تبدیلی است که در آن نقاطی که در ابتدا نزدیک به هم هستند در آخر ِ تبدیل هم نزدیک به هم باشند، مثل خم کردن و کشیدن. پاره کردن یا شکستن مجاز نیست. لکن نکته ای را باید گوشزد کرد: از آنجا که راجع به تبدیلات صحبت می کنیم، به چیزی جز آنچه که در آغاز و پایان تبدیل روی می دهد توجه نداریم، بنابراین ایجاد شکستگی در یک نقطه مجاز است در صورتی که شی، در نقطه شکستگی، به همان  طریق به هم چسبانده شود. به عنوان مثال یک گره را به این طریق باز می کنیم که نخ را می بریم و بعد گره را باز می کنیم و سپس دو سر بریدگی را به هم می چسبانیم.

چه نوع خواصی توپولوژیک هستند؟

خواص معمولی که در هندسه اقلیدسی مطالعه می شود، خواص توپولوژیک نیستند. مستقیم بودن، یک خاصیت توپولوژیک نیست، زیرا یک خط را می توان آنقدر خم کرد و کشید که کج و معوج شود. همچنین خاصیت مثلثی بودن را می توان به طور پیوسته به یک دایره تغییر شکل داد. بنابراین در توپولوژی مثلث و دایره یک چیز هستند. طول، اندازه زاویه، مساحت، همه این ها را می توان با تبدیلات پیوسته تغییر داد. پس باید کنارشان گذاشت. از مفاهیم متداول هندسه تنها معدودی در توپولوژی باقی می مانند، و باید مفاهیم جدیدی را جستجو کرد.

یکی از نمونه های اصلی خواص توپولوژیک خاصیتی است در دونات وجود دارد: داشتن یک سوراخ. (از نکته های ظریف مطلب اینکه سوراخ جزیی از دونات نیست.) به هر طریق که دونات را به طور پیوسته تغییر شکل دهیم سوراخ باقی می ماند. یک خاصیت توپولوژیک دیگر داشتن لبه است. سطح کره لبه ندارد، اما سطح نیم کره توخالی دارای لبه است و هیچ تبدیل پیوسته ای این وضع را تغییر نخواهد داد.

یکی از نمونه های اصلی خواص توپولوژیک خاصیت داشتن یک سوراخ است

اشیاء اصلی مورد مطالعه در توپولوژی، فضاهای توپولوژیک خوانده می شوند. به طور شهودی باید این فضاها را به صورت اشکال هندسی تصور کرد. از لحاظ ریاضی این فضاها مجموعه هایی (معمولا زیر مجموعه هایی از فضای اقلیدسی) هستند دارای ساختاری اضافی موسوم به توپولوژی، که امکان ساختن مفهوم پیوستگی را فراهم می آورد. سطح یک کره، یک دونات (درست تر بگوئیم یک چنبره) یا یک چنبره دو سوراخه، همگی فضاهای توپولوژیک هستند.

دو فضای توپولوژیک هم ارز هستند هرگاه بتوان به طور پیوسته از یکی به دیگری رفت و نیز به طور پیوسته به وضع اول برگشت. این ضرب المثل معروف که برای یک توپولوژیست دونات و فنجان قهوه فرقی با هم ندارند، مثال خوبی برای این هم ارزی است. اگر همه فضاهای توپولوژیک بخوبی کره و چنبره بودند توجه چندانی به توپولوژی نمی شد. یکی از فضاهای نامانوس و عجیب و غریب، نوار موبیوس می باشد. این نوار از لحاظ توپولوژیک با یک نوار استوانه ای تاب نخورده، تفاوت دارد. این نوار تنها یک لبه دارد، از آنجا که تعداد لبه ها یک خاصیت توپولوژیک است و چون نوار استوانه ای دارای دو لبه است این دو نوار هم ارز توپولوژیک نیستند. خاصیت مشهورتر نوار موبیوس این است که تنها یک طرف دارد، یک نوار استوانه ای را می توان از یک طرف آبی و از طرف دیگر قرمز رنگ کرد. اما اگر سعی کنید همین کار را با نوار موبیوس انجام دهید، دو رنگ در جایی به یکدیگر می رسند.

منبع: مفاهیم ریاضیات جدید/نوشته یان استیوارت

bigbangpage.com